第八十四章 帽子问题（1 / 2）

扈东今天很爽，看亚力山大?阿不杜拉?卡巴斯基被自已转懵了，想，赶紧痛打落水狗，踩他一脚，看他还敢不敢翻身。于是，笑容可躬地说道：“大人，我们老师一直教导我们，说：‘有教无类’，还说：‘诲人不倦’。所以，我再给大人你介绍一种我们哈佛新生经常玩的一种游戏，叫：‘帽子颜『色』问题’，我这里来解析一下这类问题：

如果，有3顶黑帽子，2顶白帽子。让三个人从前到后站成一排，给他们每个人头上戴一顶帽子。每个人都看不见自己戴的帽子的颜『色』，却只能看见站在前面那些人的帽子颜『色』。（所以最后一个人可以看见前面两个人头上帽子的颜『色』，中间那个人看得见前面那个人的帽子颜『色』但看不见在他后面那个人的帽子颜『色』，而最前面那个人谁的帽子都看不见。现在从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子颜『色』，如果他回答说不知道，就继续问他前面那个人。事实上他们三个戴的都是黑帽子，那么最前面那个人一定会知道自己戴的是黑帽子。为什么？

答案是，最前面的那个人听见后面两个人都说了“不知道”，他假设自己戴的是白帽子，于是中间那个人就看见他戴的白帽子。那么中间那个人会作如下推理：“假设我戴了白帽子，那么最后那个人就会看见前面两顶白帽子，但总共只有两顶白帽子，他就应该明白他自己戴的是黑帽子，现在他说不知道，就说明我戴了白帽子这个假定是错的，所以我戴了黑帽子。”问题是中间那人也说不知道，所以最前面那个人知道自己戴白帽子的假定是错的，所以他推断出自己戴了黑帽子。

如果我们把这个问题推广成如下的形式：

有若干种颜『色』的帽子，每种若干顶。假设有若干个人从前到后站成一排，给他们每个人头上戴一顶帽子。每个人都看不见自己戴的帽子的颜『色』，而且每个人都看得见在他前面所有人头上帽子的颜『色』，却看不见在他后面任何人头上帽子的颜『色』。现在从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子颜『色』，如果他回答说不知道，就继续问他前面那个人。一直往前问，那么一定有一个人知道自己所戴的帽子颜『色』。

当然要假设一些条件：

1、首先，帽子的总数一定要大于人数，否则帽子都不够戴。

2、有若干种颜『色』的帽子，每种若干顶，有若干人这个信息是队列中所有人都事先知道的，而且所有人都知道所有人都知道此事，所有人都知道所有人都知道所有人都知道此事，等等等等。但在这个条件中的‘若干’不一定非要具体一一给出数字来。这个信息具体地可以是象上面经典的形式，列举出每种颜『色』帽子的数目有3顶黑帽子，2顶白帽子，3个人也可以是有红黄绿三种颜『色』的帽子各1顶2顶3顶，但具体不知道哪种颜『色』是几顶，有6个人甚至连具体人数也可以不知道，

‘有不知多少人排成一排，有黑白两种帽子，每种帽子的数目都比人数少1，这时候那个排在最后的人并不知道自己排在最后──直到开始问他时发现在他回答前没有别人被问到，他才知道他在最后。在这个帖子接下去的部分当我出题的时候我将只写出“有若干种颜『色』的帽子，每种若干顶，有若干人’这个预设条件，因为这部分确定了，题目也就确定了。[]恋千年84

3、剩下的没有戴在大家头上的帽子当然都被藏起来了，队伍里的人谁都不知道都剩下些什么帽子。

4、所有人都不是『色』盲，不但不是，而且只要两种颜『色』不同，他们就能分别出来。当然他们的视力也很好，能看到前方任意远的地方。他们极其聪明，逻辑推理是极好的。总而言之，只要理论上根据逻辑推导得出来，他们就一定推导得出来。相反地如果他们推不出自己头上帽子的颜『色』，任何人都不会试图去猜或者作弊偷看──不知为不知。

5、后面的人不能和前面的人说悄悄话或者打暗号。

当然，不是所有的预设条件都能给出一个合理的题目。比如有99顶黑帽子，99顶白帽子，2个人，无论怎么戴，都不可能有人知道自己头上帽子的颜『色』。另外，只要不是只有一种颜『色』的帽子，在只由一个人组成的队伍里，这个人也是不可能说出自己帽子的颜『色』的。

但是下面这几题是合理的题目：

（1）、3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子，10个人。

（2）、3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子，8个人。

（3）、n顶黑帽子，n-1顶白帽子，n个人（n>0）。

（4）、1顶颜『色』1的帽子，2顶颜『色』2的帽子，……，99顶颜『色』99的帽子，100顶颜『色』100的帽子，共5000个人。

（5）、有红黄绿三种颜『色』的帽子各1顶2顶3顶，但具体不知道哪种颜『色』是几顶，有6个人。

（6）、有不知多少人（至少两人）排成一排，有黑白两种帽子，每种帽子的数目都比人数少1。

大家可以先不看我下面的分析，试着做做这几题。

如果按照上面3顶黑帽2顶白帽时的推理方法去做，那么10个人就可以把我们累死，别说5000个人了。但是（3）中的n是个抽象的数，考虑一下怎么解决这个问题，对解决一般的问题大有好处。

假设现在n个人都已经戴好了帽子，问排在最后的那一个人他头上的帽子是什么颜『色』，什么时候他会回答‘知道’？很显然，只有在他看见前面n-1个人都戴着白帽时才可能，因为这时所有的n-1顶白帽都已用光，在他自己的脑袋上只能顶着黑帽子，只要前面有一顶黑帽子，那么他就无法排除自己头上是黑帽子的可能──即使他看见前面所有人都是黑帽，他还是有可能戴着第n顶黑帽。

现在假设最后那个人的回答是‘不知道’，那么轮到问倒数第二人。根据最后面那位的回答，他能推断出什么呢？如果他看见的都是白帽，那么他立刻可以推断出自己戴的是黑帽──要是他也戴着白帽，那么最后那人应该看见一片白帽，问到他时他就该回答‘知道’了。但是如果倒数第二人看见前面至少有一顶黑帽，他就无法作出判断──他有可能戴着白帽，但是他前面的那些黑帽使得最后那人无法回答‘知道’；他自然也有可能戴着黑帽。[]恋千年84

这样的推理可以继续下去，但是我们已经看出了苗头。最后那个人可以回答‘知道’当且仅当他看见的全是白帽，所以他回答‘不知道’当且仅当他至少看见了一顶黑帽。这就是所有帽子颜『色』问题的关键！

如果最后一个人回答‘不知道’，那么他至少看见了一顶黑帽，所以如果倒数第二人看见的都是白帽，那么最后那个人看见的至少一顶黑帽在哪里呢？不会在别处，只能在倒数第二人自己的头上。这样的推理继续下去，对于队列中的每一个人来说就成了：

‘在我后面的所有人都看见了至少一顶黑帽，否则的话他们就会按照相同的判断断定自己戴的是黑帽，所以如果我看见前面的人戴的全是白帽的话，我头上一定戴着我身后那个人看见的那顶黑帽。’

我们知道最前面的那个人什么帽子都看不见，就不用说看见黑帽了，所以如果他身后的所有人都回答说‘不知道’，那么按照上面的推理，他可以确定自己戴的是黑帽，因为他身后的人必定看见了一顶黑帽──只能是第一个人他自己头上的那顶。事实上很明显，第一个说出自己头上是什么颜『色』帽子的那个人，就是从队首数起的第一个戴黑帽子的人，也就是那个从队尾数起第一个看见前面所有人都戴白帽子的人。

这样的推理也许让人觉得有点循环论证的味道，因为上面那段推理中包含了‘如果别人也使用相同的推理’这样的意思，在逻辑上这样的自指式命题有点危险。但是其实这里没有循环论证，这是类似数学归纳法的推理，每个人的推理都建立在他后面那些人的推理上，而对于最后一个人来说，他的身后没有人，所以他的推理不依赖于其他人的推理就可以成立，是归纳中的第一个推理。稍微思考一下，我们就可以把上面的论证改得适合于任何多种颜『色』的推论：

‘如果我们可以从假设断定某种颜『色』的帽子一定会在队列中出现，从队尾数起第一个看不见这种颜『色』的帽子的人就立刻可以根据和此论证相同的论证来作出判断，他戴的是这种颜『色』的帽子。现在所有我身后的人都回答不知道，所以我身后的人也看见了此种颜『色』的帽子。如果在我前面我见不到此颜『色』的帽子，那么一定是我戴着这种颜『色』的帽子。’

当然第一个人的初始推理相当简单：‘队列中一定有人戴这种颜『色』的帽子，现在我看不见前面有人戴这颜『色』的帽子，那它只能是戴在我的头上了。’

对于题（1）事情就变得很明显，3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子给10个人戴，队列中每种颜『色』至少都该有一顶，于是从队尾数起第一个看不见某种颜『色』的帽子的人就能够断定他自己戴着这种颜『色』的帽子，通过这点我们也可以看到，最多问到从队首数起的第三人时，就应该有人回答“知道”了，因为从队首数起的第三人最多只能看见两顶帽子，所以最多看见两种颜『色』，如果他后面的人都回答“不知道”，那么他前面一定有两种颜『色』的帽子，而他头上戴的一定是他看不见的那种颜『色』的帽子。

题（2）也一样，3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子给8个人戴，那么队列中一定至少有一顶白帽子，因为其它颜『色』加起来一共才7顶，所以队列中一定会有人回答‘知道’。

题（4）的规模大了一点，但是道理和（2）完全一样。100种颜『色』的5050顶帽子给5000人戴，前面99种颜『色』的帽子数量是1+……+99=4950，所以队列中一定有第100种颜『色』的帽子（至少有50顶），所以如果自己身后的人都回答“不知道”，那么那个看不见颜『色』100帽子的人就可以断定自己戴着这种颜『色』的帽子。

至于（5）、（6）‘有红黄绿三种颜『色』的帽子各1顶2顶3顶，但具体不知道哪种颜『色』是几顶，有6个人”以及“有不知多少人排成一排，有黑白两种帽子，每种帽子的数目都比人数少1’，原理完全相同，我就不具体分析了。

最后要指出的一点是，上面我们只是论证了，如果我们可以根据各种颜『色』帽子的数量和队列中的人数判断出在队列中至少有一顶某种颜『色』的帽子，那么一定有一人可以判断出自己头上的帽子的颜『色』。因为如果所有身后的人都回答‘不知道’的话，那个从队尾数起第一个看不见这种颜『色』的帽子的人就可以判断自己戴了此颜『色』的帽子。但是这并不是说在询问中一定是由他来回答‘知道’的，因为还可能有其他的方法来判断自己头上帽子的颜『色』。比如说在题（2）中，如果队列如下：（箭头表示队列中人脸朝的方向）

白白黑黑黑黑红红红白→

那么在队尾第一人就立刻可以回答他头上的是白帽，因为他看见了所有的3顶红帽子和4顶黑帽子，能留给他自己戴的只能是白帽子了。