第八节 混合策略——警察如何与小偷斗智？（1 / 1）

第八节 混合策略——警察如何与小偷斗智？

2018-04-15 作者： 孙科炎；董晓孝

第八节 混合策略——警察如何与小偷斗智？

在某个小镇上，有一个警察要负责整个小镇的治安。小镇的一头有一家酒吧，另一头有一家银行。当地有一个小偷，正准备实施偷盗。由于分身乏术，警察一次只能巡逻一个地方；而小偷也只能去一个地方。再假设银行需要保护的财产价格为20万元，酒吧的财产价格为15万元。如果警察在某地巡逻，而小偷也在该地行动，那么就会被警察抓住；如果警察没巡逻而小偷去该地行动，那么小偷就偷盗成功。这种情况下，警察如何巡逻才能使效果最好？

显然，一个比较明智的做法就是，警察在银行这边巡逻，这样就可以确保20万元的财产不被偷窃。但是，如果小偷去酒吧，那么偷窃成功。试想一下：上面这种做法是警察的最优选择吗？还有没有更好的改进策略呢？

实际上，这场博弈涉及了混合策略的问题。那么，什么是混合策略呢？

在中国古代军事家孙子看来，混合策略就是“攻其所不守也，守其所必攻也；敌不知其所守，亦不知其所攻。”在当代学者大卫，吕埃勒的著作中，混合策略就是：“如果你与某人竞争，最佳策略是采取随机的、不可预测的行为。”

而在经济学家眼中，混合策略是博弈论中的一种策略选择法，指的是允许参与人随机选择他们的策略——每项选择都指定一个概率，并按照这些概率进行选择。简单地说，混合策略就是在信息完全的博弈中，给定每个信息的情况下，以某种概率来选择不同的策略。

在上面那个例子中，对于警察来说，一个最优的选择就是：抽签决定巡逻银行还是酒吧。由于银行财产的价格是酒吧的两倍，因此用两个签代表银行，例如抽到1、2号签去银行巡逻，抽到3号签去酒吧。如此一来，这位警察去银行巡逻的概率为2/3，去酒吧巡逻的概率为1/3。类似的，小偷的最佳做法是：以同样的抽签方法决定去银行还是酒吧偷盗，只是抽到1、2号签去酒吧偷盗，抽到3号签去银行偷盗。于是乎，小偷去银行偷盗的概率为1/3，去酒吧偷盗的概率为1/3。这与警察在两地巡逻的概率恰好相反。

案例中警察与小偷之间的博弈，好比我们小时候玩的“石头剪子布”游戏。在这个游戏中，对每个参与者来说，自己采取出“石头”、“剪子”还是“布”的策略应当是随机的，大家谁都不会让对方知道自己的策略，即使是“倾向性”的策略。因为你若被对方知道出某种策略的“可能性”越大，那么你在这个博弈游戏中输的可能性就越大。所以，我们每个参与者的最优混合策略就是采取每个策略的可能性为1/3。在这个博弈中，每个参与者从各种备选策略中选取的随机方式，就是混合策略的体现。

日常生活中，我们不乏听到这样的观点“很多时候，解决问题的最好办法就是不去想怎么解决问题”。因为无论你怎么想，都不会得到一个完美的策略。

举个例子，你和朋友一起喝酒要行拳。行拳的游戏规则是这样的：参与行拳的人每人可伸出1～5个指头，并且口中要说出0～10中的一个数字。如果一方说出的数字正好是两人伸出的指头数之和，而另一方不能准确说出该数字，那么这一方就算胜利，另一方则失败，并且失败者要被罚酒。

在这样一个博弈中，你应该如何出拳？不论你怎样绞尽脑汁，都不会得到一个最优的纯策略。所谓“纯策略”，指的是在信息完全的博弈中，给定每个信息，只能选择一种特定的策略。因此，这种游戏的最好玩法也许就是在大脑中形成一个随机的数列，然后根据这个随机数列来报数。当然，这个随机数列不能事先被你的对手知道。因为只有没有章法可循，对手也就不能通任何章法来战胜你。